Einstieg
Eve hört alles mit
Alice will Bob etwas Geheimes schicken. Die beiden haben sich nie getroffen und haben keinen gemeinsamen Schlüssel. Jede Nachricht zwischen ihnen hört Eve mit – jedes Wort, jede Zahl.
Wie können sich Alice und Bob auf einen geheimen Schlüssel einigen, den Eve nicht kennt?
Es geht, der Schlüssel wird nie verschickt (öffentlich zuerst: Diffie und Hellman, 1976). Jeder schickt ein halbfertiges Zwischenergebnis und macht es mit einem Geheimnis fertig, das er nie verrät. Den zweiten Schlüssel aus Antwort 2 müsste Bob erst bekommen.
Wie verschickt man etwas Halbfertiges, das Eve nicht fertig bekommt? Probieren wir es mit Farbe.
Station 1 · Farben mischen
Ein Geheimnis aus drei Farben
Auftrag: Vermutet vor jedem Schritt, was Eve danach weiß. Am Ende: Haben Alice und Bob wirklich dieselbe Farbe?
Schritt 1: Eine Farbe wird öffentlich verabredet.
Schritt 2: Jeder wählt eine Geheimfarbe und verrät sie nie.
Schritt 3: Jeder mischt Gelb mit seiner Geheimfarbe und schickt die Mischung.
Schritt 4: Jeder gibt seine Geheimfarbe zur Mischung des anderen.
Schritt 1 von 4
Station 2 · Eve mischt mit
Eve hat drei Farben. Reicht das?
Auftrag: Eve kippt die beiden Mischungen zusammen. Vermutet zuerst: Bekommt sie so die gemeinsame Farbe?
Eve hat mitgeschrieben
Bei Eve steckt Gelb doppelt drin. Die Mischung ist heller und gelblicher als die von Alice und Bob.
Was müsste Eve können, um die gemeinsame Farbe zu bekommen?
Sie müsste entmischen. Mit Rot (oder Blau) könnte sie genauso weitermischen wie Bob (oder Alice). Mischen geht leicht, entmischen kaum. Das ist eine Einbahnstraße.
Gibt es so eine Einbahnstraße auch mit Zahlen?
Station 3 · Rechnen mit Rest
Eine Einbahnstraße aus Zahlen
Auftrag: Immer mal 5 nehmen und nur den Rest beim Teilen durch 23 behalten. Sagt vor jedem Klick die nächste Zahl voraus. Findet ihr ein Muster?
Start: 51 = 5
Rest beim Teilen
Wie bei der Uhr: 14 Uhr plus 13 Stunden ist nicht 27 Uhr, sondern 3 Uhr. Das ist der Rest beim Teilen durch 24.
Hier rechnen wir mit Rest durch 23. Kurz: mod 23.
56 mod 23 = 8
heißt: 5 sechsmal mit sich malnehmen, Rest beim Teilen durch 23 ist 8.
Vorwärts ist leicht: mal 5, Rest bilden. Rückwärts – zu welcher Hochzahl gehört die 8? – müsst ihr suchen. Die Zahlen springen wild.
Station 4 · Diffie-Hellman mit Zahlen
Statt Farben: Hochzahlen mit Rest
Auftrag: Eine Gruppe rechnet als Alice, eine als Bob. Wählt eure Geheimzahl verdeckt. A und B lest ihr an der Leiter aus Station 3 ab, s rechnet ihr Schritt für Schritt (malnehmen, Rest bilden). Vergleicht am Ende euer s.
Alice
A = 56 mod 23 = 8
A geht über die Leitung zu Bob.
s = B6 mod 23 = 2
Eve sieht auf der Leitung
Grundzahl g = 5
Rest durch p = 23
A = 8 · B = 19
Grundzahl 5 und 23 sind öffentlich verabredet, wie das Gelb.
s = ?
Bob
B = 515 mod 23 = 19
B geht über die Leitung zu Alice.
s = A15 mod 23 = 2
Warum gleich? Beide rechnen am Ende 5a·b mod 23: Alice als (5b)a, Bob als (5a)b. Wie bei den Farben ist die Reihenfolge egal.
Station 5 · Eve probiert
Kann Eve die Hochzahl finden?
Auftrag: Schätzt zuerst, wie viele Versuche Eve höchstens braucht. Dann lasst sie probieren.
Eve sucht Alices Geheimzahl a mit 5a mod 23 = 8.
Die Zahlen kommen aus Station 4. Ändert dort a und b, dann sucht Eve neu.
Wie viele Versuche braucht Eve bei p = 23 höchstens?
21. Geheimzahlen gehen nur von 1 bis 21 (522 ergibt 1, dann wiederholt sich alles). Kleine Zahlen sind unsicher.
In echt hat p über 900 Stellen (BSI: mindestens 3000 Bit): viel mehr Hochzahlen, als es Atome im sichtbaren Universum gibt (geschätzt 1080). Auch die besten bekannten Rechenwege schaffen das heute nicht. Große Quantencomputer könnten es einmal – darum wird vorgesorgt (Station 9).
Station 6 · Grenzen der Analogie
Wo hinkt der Vergleich mit Farben?
Auftrag: Entscheidet bei jeder Karte: Stimmt der Vergleich hier – oder hinkt er? Dann aufdecken.
1 · Die Reihenfolge ist egal.
Gelb+Rot, dann Blau – oder Gelb+Blau, dann Rot.
Stimmt
Bei Zahlen genauso: (5a)b und (5b)a ergeben denselben Rest. Darauf beruht das ganze Verfahren.
2 · Entmischen ist unmöglich.
Aus Gelb+Rot bekommt niemand das Rot zurück.
Hinkt
Rückwärtsrechnen ist nicht unmöglich, nur sehr aufwendig. Bei p = 23 hat Eve es geschafft. Sicher ist das Verfahren nur, weil es zu lange dauert. Auch mit Farbe könnte Eve übrigens probieren: Gelb mit allen Farben mischen, bis Gelb+Rot herauskommt.
3 · Am Ende haben beide genau dieselbe Farbe.
Gelb+Rot+Blau bei Alice und bei Bob.
Hinkt
Echte Farben werden nie ganz gleich, ein bisschen mehr Gelb hier, ein bisschen weniger dort. Zahlen sind exakt: Beide bekommen genau dieselbe Zahl. Nur darum taugt sie als Schlüssel.
4 · Man sieht, warum es schwer ist.
Farbe kann man eben nicht entmischen.
Hinkt
Bei Zahlen ist die schwere Aufgabe eine ganz bestimmte: die Hochzahl finden, wenn man nur den Rest kennt. Fachleute nennen das den diskreten Logarithmus. Das zeigt keine Farbe.
Station 7 · Eve in der Mitte
Und wenn Eve nicht nur zuhört?
Auftrag: Eve fängt jede Nachricht ab und schickt selbst eine weiter. Erklärt, warum Alice und Bob nichts merken.
Eve macht zweimal Diffie-Hellman: einmal mit Alice, einmal mit Bob. Beide Rechnungen gehen auf. Fachleute nennen das Man-in-the-Middle-Angriff.
Was fehlt Diffie-Hellman, damit Eve das nicht kann?
Ein Ausweis. Diffie-Hellman schützt gegen Mithören, nicht gegen Verkleiden. Längere Zahlen helfen nicht: Eve rechnet ja ganz normal mit.
Im Browser zeigt der Server ein Zertifikat, von einer Prüfstelle digital unterschrieben. Wie das geht, zeigt die RSA-Tafel.
Station 8 · AES
Gemeinsamer Schlüssel – und jetzt?
Auftrag: Schätzt, wie lange Durchprobieren bei AES-128 dauert. Begründet, warum Alice und Bob nach dem Austausch ein zweites Verfahren brauchen.
AES ist symmetrisch: Derselbe Schlüssel schließt zu und auf. Öffentlicher Standard seit 2001 (NIST, USA), aus einem offenen Wettbewerb; erfunden von Joan Daemen und Vincent Rijmen (Belgien).
AES verschlüsselt sehr schnell, in Blöcken zu 128 Bit. Diffie-Hellman liefert nur die gemeinsame Zahl. Aus ihr wird der AES-Schlüssel berechnet.
| Schlüssel | mögliche Schlüssel |
|---|---|
| AES-128 | 2128 ≈ 3,4 · 1038 |
| AES-192 | 2192 ≈ 6,3 · 1057 |
| AES-256 | 2256 ≈ 1,2 · 1077 |
Ein Rechner probiert 1 Milliarde Schlüssel pro Sekunde. Wie lange dauert es, alle Schlüssel von AES-128 zu probieren?
Rund 1022 Jahre – fast eine Billion Mal so lange, wie das Universum alt ist (13,8 Milliarden Jahre). Angreifer suchen darum lieber schwache Passwörter oder Fehler in Programmen.
Station 9 · HTTPS und das Schloss
Was passiert beim Aufruf einer https-Seite?
Auftrag: Ordnet jedem Schritt zu, welches Problem er löst. Dann: Was bedeutet das Schloss im Browser?
1
Schlüssel austauschen
Diffie-Hellman, meist mit elliptischen Kurven (kürzere Zahlen). Für jede Verbindung neu.
Neuere Browser rechnen zusätzlich ML-KEM mit, gegen künftige Quantencomputer.
2
Ausweis zeigen
Der Server zeigt sein Zertifikat, der Browser prüft die Unterschrift. So kann sich Eve nicht in die Mitte setzen.
3
Daten verschlüsseln
Seiten, Passwörter, Formulare verschlüsselt ein symmetrisches Verfahren, meist AES.
Was zeigt das Schloss im Browser?
Nur die Verbindung ist geschützt. Auch Betrugsseiten haben ein Schloss. Wie die Seite dein Passwort speichert, sieht man nicht (Tafel Passwort-Hash). Welchen Server du aufrufst, sieht der Netzbetreiber oft trotzdem.
Weil viele das Schloss falsch verstanden, zeigt Chrome seit 2023 dort ein Regler-Symbol.
Station 10 · Geheimtext
Ihr seid Bob
Auftrag: Berechnet den gemeinsamen Schlüssel s und entschlüsselt die Nachricht von Alice. Als Spielzeug-Schloss dient hier Cäsar: Jeder Buchstabe ist um s Stellen verschoben.
Das hat Eve mitgeschrieben
g = 5 · p = 23 · A = 21 · B = 17
QOROSW SCD XEB NOB CMRVEOCCOV
Bob eure Geheimzahl: b = 7. Rechnet s = 217 mod 23.
Um wie viele Stellen zurückschieben?
Eve hat den Geheimtext auch. Cäsar könnte sie in 25 Versuchen knacken, ganz ohne s (Tafel Cäsar). Ein guter Schlüsselaustausch nützt nur mit einer starken Verschlüsselung. Darum in echt: AES mit 128 oder 256 Bit.
Abschluss
Check
Auftrag: Entscheidet euch zuerst, dann auflösen.
Was schicken Alice und Bob über die Leitung?
A und B sind öffentlich. a, b und s verlassen nie den eigenen Rechner.
Warum ist das Beispiel mit p = 23 unsicher?
Es gibt nur 21 mögliche Geheimzahlen. 23 ist eine Primzahl, und beide Schlüssel sind gleich.
Wofür braucht man nach dem Austausch AES?
Diffie-Hellman liefert den Schlüssel, das Zertifikat den Ausweis, AES schützt die Daten.
Kerckhoffs: Das Verfahren darf jeder kennen, geheim ist nur der Schlüssel. Bei Diffie-Hellman ist sogar der Weg zum Schlüssel öffentlich.