Zahlen im Filter

Einstieg

Ein Fenster rechnet sich durchs Bild

Vorher240 × 150 Pixel

Nachherhell = großer Unterschied

Ergebnis0

Malaufgaben bisher: 0

Diese neun Zahlen machen senkrechte Kanten sichtbar. Woher kommen sie?

Station 1 · Rechnen

Neun Malaufgaben, eine Summe

Helligkeit: 0 = schwarz, 255 = weiß. Tippe ein Feld an, dorthin wandert das Fenster. Wo ergibt es 0, wo die größte Zahl?

Ausschnitt unter der LupeRand von Turm und Himmel

Die neun Zahlen

Rechnung im FensterPixel × Zahl

Neues Bild, 6 × 4 Pixel. Am Rand passt das Fenster nicht ganz hinein.

y(i, j) = Σ_m,n w(m, n) · x(i + m, j + n), m, n ∈ {−1, 0, 1}. Genau genommen eine Kreuzkorrelation; in der KI heißt sie trotzdem Faltung (bei der mathematischen Faltung wird der Kern um 180° gedreht).

Station 2 · Werkstatt

Neun Zahlen, viele Wirkungen

Auftrag: Dreht bei „Senkrechte Kanten“ alle Vorzeichen um. Was ändert sich bei „± Farbe“, was bei „Stärke“? Erst vermuten!

Bild

Nachher zeigen als

Vorher

Dein Filter+ und − antippen

Nachher

Station 3 · Begründen

Warum gerade diese Zahlen? Teil 1: Weichzeichnen

÷ 16

Alle Zahlen positiv: Jedes Pixel wird mit seinen 8 Nachbarn gemischt.
Mitte 4, Seiten 2, Ecken 1: Nahe Nachbarn zählen mehr.
Zusammen 16. Darum ÷ 16, sonst wäre alles 16-mal so hell.

1, 2, 1 sind Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck) und nähern eine Gaußsche Glockenkurve an: [1 2 1]ᵀ · [1 2 1] / 16.

Vorherkörnig

Nachher÷ 16

Schalte das Teilen aus. Was passiert?

Regel: Ergeben die Zahlen zusammen 1 (nach dem Teilen), bleiben gleichmäßige Flächen gleich hell.Die Körnung wird dabei verschmiert, das Bild wird glatter.

Station 3 · Begründen

Teil 2: Kanten finden trotz Körnung

Einfacher Unterschied

Rechts minus links. Gleich hell ergibt 0. Aber auch jedes Körnchen ist ein Unterschied.

Sobel = Einmaleins

×	−1	1
1	−1	1
2	−2	2
1	−1	1

Oben: Unterschied (−1 0 1). Links: Glätten (1 2 1) wie beim Weichzeichnen. Malnehmen ergibt genau den Sobel-Filter.

Sobel: Unterschied + Glätten

Drei Zeilen statt einer, die mittlere doppelt. Die Körnung wird schwächer, die Kanten bleiben.

Vergleicht den Himmel in beiden Bildern. Beide: körniger Leuchtturm, Stärke ohne Vorzeichen, Helligkeit automatisch angepasst, damit der Vergleich fair ist.

Rauschabstand an einer geraden Stufe der Höhe Δ: Sobel liefert 4Δ bei Rauschen √12·σ ≈ 3,5σ, der einfache Unterschied Δ bei √2·σ ≈ 1,4σ. Theoretisch 1,6-mal besser, in diesem Bild gemessen etwa 1,5-mal. Sobel ist separierbar: [1 2 1]ᵀ · [−1 0 1].

Station 4 · Lernen

Die Maschine findet die Zahlen selbst

Rätsel

Gesucht: neun Zahlen, die aus Vorher das Nachher machen. Ratet zuerst: Welcher Filter ist es?

Vorherleicht körnig

NachherZiel

Zahlen der Maschine

Runde 0Abweichung Ø –

Ergebnis der Maschinemit ihren Zahlen

Start mit Zufallszahlen.

Rechnen → mit dem Ziel vergleichen → jede Zahl ein Stück verbessern → wiederholen

Verlust L = 1/N · Σ (ŷ − y)², Gradient ∂L/∂w_k = 2/N · Σ (ŷ − y) · x_k, Optimierer Adam (Lernrate 0,1), jede Runde alle 35 224 inneren Pixel. Vereinfachung: Das Zielbild ist vorgegeben. Echte Bilderkenner bekommen nur die richtige Antwort; die Filter entstehen nebenbei.

Station 5 · Im echten Netz

Bilderkenner lernen Hunderte Filter

Erste Schicht: Kanten in vier Richtungenlive gerechnet

Bild

Schicht 1Kanten, Streifen→ Schicht 2Ecken, Bögen, Muster→ Schicht 3Teile: Laterne, Dach→ „Leuchtturm“Antwort

Schicht 1 ist hier echt gerechnet, die Schichten danach sind ein Schema. Jede Schicht hat ihre eigenen Filter und rechnet mit den Ergebnissen der Schicht davor.

Filter (je 11 × 11 Pixel, farbig) lernte das Netz AlexNet (2012) in seiner ersten Schicht, ohne Vorgabe. Viele reagieren auf Kanten und Streifen in einer Richtung, ähnlich wie Sobel.

Wer legt die Zahlen fest? Das Training. Das Netz startet mit Zufallszahlen und verbessert sie in sehr vielen kleinen Schritten.

Vorbild Gehirn: Hubel und Wiesel fanden 1959 Nervenzellen in der Sehrinde, die auf Kanten einer Richtung reagieren (Nobelpreis 1981). Eine 3×3-Schicht mit 64 Ein- und 64 Ausgangskanälen hat 3 · 3 · 64 · 64 = 36 864 Gewichte, dazu 64 Bias-Werte.

Abschluss · Check

Kannst du es erklären?

Alle neun Zahlen sind 1. Was passiert mit dem Bild, wenn man nicht durch 9 teilt?

Ein Kantenfilter (links −1, rechts +1) liegt auf einer gleichmäßig grauen Wand. Was kommt heraus?

Wer legt in einem KI-Bilderkenner die Zahlen der Filter fest?

Merke: Ein Filter ist ein Fenster mit neun Zahlen. Pixel mal Zahl, alles addieren, fertig ist das neue Pixel.Klassische Filter: Menschen wählen und begründen die Zahlen. KI-Bilderkenner: Das Netz lernt sie aus Beispielen.

Hinweise für Lehrkräfte

Jahrgang

Ab Klasse 8 (Technik, Informatik, WPK). Vorwissen: Rechnen mit negativen Zahlen. Hilfreich, aber nicht nötig: die Klicktafel KI-Matrix, dort wandert in Station 4 ein 3×3-Filter über ein Schwarz-Weiß-Bild. Der Umschalter Fortbildung blendet Formeln, Fachbegriffe und Quellen ein, z. B. für Lehrkräftefortbildungen oder Lehramtsstudierende.

Zeitbedarf

45 Minuten für Einstieg, Station 1, 2 und 4 und den Check. 90 Minuten mit Station 3 (Begründen), Station 5 und eigenen Experimenten.

Ablauf in 45 Minuten

5′ Einstieg: Fenster laufen lassen. Die Klasse diskutiert, tippt Antworten an, dann „Auflösen“.
10′ Station 1: Zuerst „Nichts ändern“ (Warum bleibt alles gleich?), dann „Senkrechte Kante“. Ergebnis vor dem Antippen schätzen lassen. Wo entsteht 0?
12′ Station 2: Fertige Filter ausprobieren, darunter „Weichzeichnen“ (Warum ÷ 16?), dann der Auftrag auf der Tafel. Erkenntnis: Das Vorzeichen zeigt, ob es von hell nach dunkel oder von dunkel nach hell geht; „Stärke“ zeigt nur, wie groß der Unterschied ist. Schnelle Gruppen bauen einen Filter für waagerechte Kanten, ohne den fertigen Knopf.
13′ Station 4: Rätsel A gemeinsam. Rätsel B bis D in Partnerarbeit am iPad: erst raten, welcher Filter es ist, dann lernen lassen, dann „Lösung zeigen“.
5′ Check und Merksatz.

Ablauf in 90 Minuten

45′ wie links.
15′ Station 3: Summenregel (÷ 16) und Sobel als Einmaleins-Tabelle. Warum ist der Sobel-Filter auf dem körnigen Bild sauberer?
10′ Station 4 vertiefen: Körnung ausschalten und Rätsel A lernen lassen. Warum sieht das Bild schon richtig aus, während die Zahlen noch lange daneben liegen? (Vielfältige Trainingsdaten machen die Lösung eindeutig.)
10′ Station 5: Von einem Filter zu vielen Schichten.
10′ Transfer: Weichzeichnen und Schärfen in einer Foto-App ausprobieren und mit den neun Zahlen erklären.

Lernziele

Die Schülerinnen und Schüler berechnen das Ergebnis eines 3×3-Filters an einer Stelle: Pixel mal Zahl, Summe, gegebenenfalls teilen.
Sie erklären die Wirkung der Summe der Filterzahlen: 1 erhält die Helligkeit, 0 lässt nur Unterschiede übrig.
Sie begründen, warum ein Kantenfilter auf der einen Seite negative und auf der anderen positive Zahlen hat.
Sie beschreiben, wie eine Maschine Filterzahlen aus Beispielen lernt: rechnen, mit dem Ziel vergleichen, Zahlen schrittweise anpassen.
Sie unterscheiden von Menschen festgelegte Filter (klassische Bildverarbeitung) und gelernte Filter (KI).

Typische Fehlvorstellungen

„Der Filter erkennt Kanten wie ein Mensch.“ Er rechnet nur Unterschiede aus und weiß nicht, was eine Kante ist.
„Die Zahlen sind beliebig.“ Bei klassischen Filtern hat jede Zahl einen Grund: Mittelwert, Unterschied, Glätten.
„Beim Lernen schreibt die KI ein neues Programm.“ Die Rechnung bleibt gleich, nur die neun Zahlen ändern sich.
„Mit KI braucht man keine festgelegten Filter mehr.“ Sobel und andere klassische Filter werden bis heute benutzt, z. B. in Bildbearbeitung und Messtechnik.
„Station 4 ist genau das Training eines Bilderkenners.“ Vereinfachung: Hier ist das Zielbild vorgegeben. Echte Bilderkenner bekommen nur die richtige Antwort, die Filter entstehen nebenbei.

An der Tafel

Tafelmodus über den Knopf oben oder direkt über die Adresse: zahlen-im-filter/index.html#tafel, #tafel-3 öffnet die dritte Tafel. Weiter mit → oder Bild↓ (auch Präsentations-Klicker), zurück mit ← oder Bild↑, Esc beendet. Station 3 ist an der Tafel auf zwei Bilder verteilt.

Zum Ausdrucken

Der Knopf Arbeitsblätter oben erzeugt A4-Blätter in Graustufen: im Schulmodus ein Arbeitsblatt (Lernweg als Lückentext, Quiz, Kernaufgabe „Ein Fenster selbst rechnen“), ein Infoblatt für die Mappe und die Lösung, im Fortbildungsmodus ein Handout. Drucken oder im Druckdialog als PDF sichern. Das Arbeitsblatt braucht etwa 20 Minuten: im 45-Minuten-Ablauf als Hausaufgabe oder in der Folgestunde, im 90-Minuten-Ablauf statt „Station 4 vertiefen“ und Transfer. Das Infoblatt erst danach austeilen, denn es enthält Antworten zu mehreren Quizfragen. Station 3 und 5 kommen in 45 Minuten nicht dran; die Lernweg-Schritte dazu lassen sich trotzdem lösen: Teilen durch die Summe zeigen Station 2 beim fertigen Filter „Weichzeichnen“ und die erste Check-Frage, die Richtungsfilter nennt die dritte Check-Frage.

Technisches

Alle Bilder sind selbst gezeichnet (240 × 150 Pixel, Graustufen). Gerechnet wird wie in KI-Bibliotheken ohne Spiegeln des Kerns; am Bildrand werden die Randpixel wiederholt. Station 4 lernt mit dem Verfahren Adam direkt im Browser, ohne Internet.