Klicktafel · KI und Mathematik · ab Klasse 7 · Lernpfad in 9 Stationen

Wie eine Maschine Ja oder Nein sagt

Ein Perzeptron ist das einfachste künstliche Neuron. Es nimmt Informationen auf, bewertet sie unterschiedlich stark, rechnet alles zusammen und vergleicht das Ergebnis mit einer Grenze. Daraus entsteht eine Entscheidung: Ja oder Nein, 1 oder 0.

1Informationen
2Gewichten
3Zusammenrechnen
4Schwellenwert prüfen
5Entscheidung

Einstieg

Eine Maschine entscheidet. Nach welcher Regel?

Die Maschine entscheidet laufend, ob jemand heute ins Freibad geht. Sie schaut nur auf drei Dinge.

Auftrag: Beobachtet die Maschine eine Minute lang. Wann sagt sie Ja? Einigt euch auf eine Antwort, dann auflösen.

Live · Situation 1

Sonne	Freunde	Klassenarbeit	Punkte	Maschine

Wann sagt die Maschine Ja?

Station 1 von 9

Die Idee in einem Bild

Stell dir vor, du überlegst, ob du heute ins Freibad gehst. Drei Dinge gehen dir durch den Kopf. Zwei sprechen dafür, eins dagegen, und nicht alle sind dir gleich wichtig. Ein Perzeptron macht daraus eine Rechnung.

Auftrag: Tippt die Informationen an und schaltet sie ein und aus. Sagt vorher, was herauskommt. Erklärt dann die vier Merksätze mit euren Worten.

Die Frage

Gehe ich heute ins Freibad?

Tippe auf eine Information, um sie ein- oder auszuschalten.

Informationen kommen hinein.Jede Information ist entweder 1 (trifft zu) oder 0 (trifft nicht zu).

Nicht jede ist gleich wichtig.Dicke Linien zählen viel, dünne wenig. Rote, gestrichelte Linien sprechen dagegen.

Alles wird verrechnet.Die Punkte aller zutreffenden Informationen werden zu einer Punktzahl addiert.

Eine Grenze entscheidet.Erreicht die Punktzahl den Schwellenwert, lautet die Antwort Ja, sonst Nein.

Station 2 von 9

Entscheidungen aus dem Alltag

Wähle eine Situation. Schalte die Informationen ein und aus, verändere die Gewichte und den Schwellenwert. Daneben siehst du sofort, was das Perzeptron rechnet und wie es entscheidet. Unter „Eigenes Modell“ kannst du dir eine eigene Frage ausdenken.

Auftrag: Ändert immer nur eine Sache. Sagt vorher: Bleibt die Entscheidung oder kippt sie?

Station 3 von 9

Gewichte wirklich verstehen

Ein Gewicht beschreibt nicht die Information selbst. Es beschreibt, wie stark diese Information die Entscheidung beeinflusst. Eingabe und Gewicht sind zwei verschiedene Dinge.

Auftrag: Schiebt das Gewicht auf 3, auf 0 und auf −3. Was passiert jeweils mit der Punktzahl, wenn die Information zutrifft? Und wenn nicht?

Eingabe

Trifft die Information zu? Es gibt nur zwei Werte: 1 heißt ja, 0 heißt nein.

„Die Sonne scheint.“ → x₁ = 1

Gewicht

Wie stark zählt die Information für die Entscheidung? Das Gewicht kann groß, klein, null oder negativ sein.

„Sonne ist mir ziemlich wichtig.“ → w₁ = 3

Die Gewichtsskala

Schiebe den Regler. Was bedeutet das Gewicht, und was passiert mit der Punktzahl?

Station 3 von 9 · Teil 2

Experiment: Wann kippt die Entscheidung?

Heute trifft alles zu: Die Sonne scheint, Freunde kommen mit, aber morgen ist eine Klassenarbeit. Wie stark darf die Klassenarbeit dagegen sprechen, damit du trotzdem ins Freibad gehst?

Auftrag: Sonne, Freunde und Klassenarbeit treffen alle zu. Schätzt zuerst: Bei welchem Gewicht der Klassenarbeit kippt das Ja zum Nein? Prüft es dann mit dem Regler.

Die Sonne scheintx₁ = 1 w₁ = 3

Freunde kommen mitx₂ = 1 w₂ = 2

Schwellenwertθ = 4

Morgen ist eine Klassenarbeit · x₃ = 1 · Gewicht w₃

Vermute zuerst: Bei welchem Gewicht für die Klassenarbeit kippt die Entscheidung von Ja zu Nein? Probiere es aus und decke dann auf.

Station 4 von 9

Der Schwellenwert: die Mindestpunktzahl

Der Schwellenwert θ (sprich „Theta“) legt fest, wie viele Punkte für ein Ja mindestens nötig sind. Das kennst du von den Bundesjugendspielen: Für eine Siegerurkunde brauchst du eine Mindestpunktzahl.

Auftrag: θ (sprich „Theta“) ist die Mindestpunktzahl für ein Ja. Vermutet: Wie viele der 8 Situationen ergeben ein Ja, wenn θ = 0 ist? Prüft es und vergleicht mit θ = 6.

Schwellenwert im Freibad-Modell

Gewichte: Sonne 3, Freunde 2, Klassenarbeit −4

Situationen ergeben ein Ja.

Alle 8 möglichen Situationen, sortiert nach ihrer Punktzahl

← kleine Punktzahlgroße Punktzahl →

Wie viele Situationen ergeben ein Ja – je nach Schwellenwert?

Tippe auf einen Balken, um diesen Schwellenwert einzustellen.

Schwellenwert höherEin Ja wird schwieriger. Die Informationen müssen mehr Punkte zusammenbringen.

Schwellenwert niedrigerEin Ja wird leichter. Schon wenige Punkte reichen.

Station 5 von 9

Arbeitsaufträge: Experimentiere mit dem Modell

Wähle einen Auftrag und stelle das Modell darunter passend ein. Sobald deine Einstellung den Auftrag erfüllt, wird er grün markiert. Die Aufträge funktionieren mit jeder Situation.

Station 6 von 9

Selbst rechnen

Jetzt rechnest du ohne Hilfe. Bestimme die gewichteten Einzelwerte, die Punktzahl, den Vergleich mit dem Schwellenwert und die Ausgabe. Mit „Prüfen“ bekommst du sofort eine Rückmeldung.

Auftrag: Rechnet erst im Heft: Einzelwerte, Punktzahl z, Vergleich mit θ, Ausgabe y. Tragt dann ein und prüft.

Werte selbst festlegen Richtig gelöst: 0

Zeile	Eingabe x	Gewicht w	Einzelwert x × w
1
2
3

Punktzahl z =

Schwellenwert θ =

Vergleich

Ausgabe y =

Station 7 von 9

Die allgemeine Darstellung

So zeichnen Fachleute ein Perzeptron. Es ist genau das, was du schon kennst, nur mit Buchstaben statt Wörtern. Dadurch gilt die Rechnung für jede beliebige Situation.

Auftrag: So zeichnen Fachleute ein Perzeptron. Ordnet jedem Buchstaben sein Wort aus dem Freibad zu. Prüft mit „Mit Zahlen aus dem Freibad“.

Perzeptron mit drei Eingaben

z = x₁ · w₁ + x₂ · w₂ + x₃ · w₃

Wenn z ≥ θ,dann y = 1.Wenn z < θ,dann y = 0.

Station 7 von 9 · Teil 2

Was die Buchstaben bedeuten

Auftrag: Deckt die rechte Spalte ab und rechnet das Freibad-Beispiel selbst. Vergleicht dann.

Symbol	Bedeutung	Im Alltag gesagt	Im Freibad-Beispiel
x	Eingabe: 1 oder 0	Trifft die Information zu?	x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = 0
w	Gewicht	Wie stark zählt die Information?	w₁ = 3, w₂ = 2, w₃ = −4
z	gewichtete Summe	die Punktzahl	1 · 3 + 1 · 2 + 0 · (−4) = 5
θ	Schwellenwert (griechisch „Theta“)	die Mindestpunktzahl	θ = 4
y	Ausgabe: 1 oder 0	die Entscheidung	5 ≥ 4, also y = 1

Für Neugierige: Die kleinen Zahlen unten an x und w heißen Indizes. Sie nummerieren die Eingaben durch. Ein Perzeptron kann auch 10 oder 1000 Eingaben haben: Die Rechnung wird nur länger, die Idee bleibt gleich.

Station 8 von 9

Was hat das mit künstlicher Intelligenz zu tun?

Ein einzelnes Perzeptron ist sehr einfach. Trotzdem steckt seine Grundidee in modernen KI-Systemen. Der Psychologe Frank Rosenblatt hat das Perzeptron 1958 vorgestellt. Heute arbeiten neuronale Netze mit sehr vielen, weiterentwickelten künstlichen Neuronen.

Auftrag: Das Perzeptron stellte Frank Rosenblatt 1958 vor. Findet im Netz das blau hervorgehobene Neuron: Was hat es mit eurem Freibad-Perzeptron gemeinsam?

Ein Perzeptron: Informationen gehen hinein, eine Entscheidung kommt heraus.Ein neuronales Netz: viele Neuronen in Schichten. Die Ausgaben der einen sind die Eingaben der nächsten. Jeder Kreis rechnet ähnlich wie dein Perzeptron (blau hervorgehoben).

3Gewichte hat dein Freibad-Perzeptron.
ZehntausendeGewichte hat schon ein kleines Netz, das handgeschriebene Ziffern erkennt.
MilliardenGewichte haben große Sprachmodelle, wie sie hinter Chatbots stecken.

Weiterentwickelte Neuronen

Moderne künstliche Neuronen geben meist kein hartes Ja oder Nein weiter, sondern fließende Werte wie 0,83. Die Grundidee bleibt: Informationen werden gewichtet, zusammengerechnet und weitergegeben.

Gemeinsam stärker

Ein einzelnes Perzeptron kann nicht jede Entscheidung lernen. Erst viele hintereinandergeschaltete Neuronen können auch verwickelte Zusammenhänge darstellen, zum Beispiel Bilder erkennen.

Gewichte werden gelernt

Niemand stellt Milliarden Gewichte von Hand ein. Ein neuronales Netz lernt sie aus Beispielen: Liegt es falsch, werden die Gewichte ein kleines Stück so verändert, dass die Entscheidung besser wird.

Station 8 von 9 · Teil 2

Probier es aus: Das Perzeptron lernt Mias Entscheidungen

Mia hat sich in acht Situationen entschieden, ob sie ins Freibad geht. Das Perzeptron kennt Mias Gründe nicht. Es startet mit lauter Nullen und soll so lange lernen, bis es genauso entscheidet wie Mia.

Auftrag: Das Perzeptron kennt Mias Gründe nicht. Drückt „Ein Lernschritt“ und sagt vorher: Welches Gewicht ändert sich? Findet am Ende Mias Regel aus den Gewichten heraus.

So lernt das Perzeptron: Es sucht eine Situation, in der es falschliegt. Hat es Nein gesagt, obwohl Mia Ja gesagt hat, werden die Gewichte der zutreffenden Informationen um 1 größer und der Schwellenwert um 1 kleiner. Hat es Ja gesagt statt Nein, passiert das Umgekehrte.

Mias Regel aufdecken

Mia geht ins Freibad, wenn die Sonne scheint. Ist morgen eine Klassenarbeit, geht sie nur, wenn Freunde mitkommen.

Station 8 von 9 · Teil 3

Was steckt in einer KI?

Auftrag: Erklärt eurer Nachbarin oder eurem Nachbarn in zwei Sätzen, warum ein Perzeptron keine Magie ist. Nutzt die Wörter Gewicht, Punktzahl und Schwellenwert.

Keine Magie

Hinter einer scheinbar komplizierten KI steckt an einer grundlegenden Stelle Mathematik, die du jetzt kennst:

Eingabe × Gewicht + Eingabe × Gewicht + … = Punktzahl → mit dem Schwellenwert vergleichen

Große KI-Systeme sind beeindruckend, weil sie solche Rechnungen milliardenfach ausführen und ihre Gewichte aus riesigen Mengen von Beispielen lernen.

Station 9 von 9

Mini-Quiz

Sechs Fragen zu allem, was du gelernt hast. Nach jeder Antwort siehst du sofort, ob sie stimmt, und warum.

Auftrag: Jede und jeder entscheidet sich erst still für einen Buchstaben. Zeigt ihn mit den Fingern, dann tippt die Mehrheitsantwort an.

Hinweise für Lehrkräfte

Jahrgang und Fach: ab Klasse 7, Mathematik oder Informatik/KI. Vorwissen: Rechnen mit negativen Zahlen, Terme mit Variablen.

Ablaufvorschlag für eine Doppelstunde (90 Minuten):

Einstieg und Station 1 gemeinsam an der Tafel: Regel der Maschine erraten, Informationen ein- und ausschalten (15 Min.)
Stationen 2 bis 4 in Partnerarbeit am Tablet oder Laptop (25 Min.)
Station 5: Arbeitsaufträge, Ergebnisse vorstellen lassen (15 Min.)
Station 6: Selbst rechnen, je nach Gruppe Stufe 1 bis 3 (15 Min.)
Stationen 7 und 8 im Plenum: vom Alltag zur Formel, dann der Bogen zur KI (15 Min.)
Station 9: Quiz als Sicherung (5 Min.)

Einzelstunde (45 Minuten): Einstieg, Station 1, 3 und 4 an der Tafel (25 Min.), Station 6 Stufe 1 und 2 (12 Min.), Quiz (8 Min.). Station 8 als Ausblick in der Folgestunde.

Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler

unterscheiden Eingabe x (trifft zu: 1 oder 0), Gewicht w, Punktzahl z, Schwellenwert θ und Ausgabe y,
berechnen die gewichtete Summe auch mit negativen Gewichten und Kommazahlen und treffen damit die Entscheidung,
beschreiben, wie Gewichte und Schwellenwert die Zahl der Ja-Entscheidungen verändern,
erklären an einem Beispiel, dass ein Perzeptron seine Gewichte aus Beispielen lernen kann.

Typische Fehlvorstellungen:

„Das Gewicht sagt, ob die Information zutrifft.“ Richtig ist: Das sagt die Eingabe x; das Gewicht sagt, wie stark sie zählt (Station 3, Quizfrage 1).
„Ein negatives Gewicht zählt nicht.“ Richtig ist: Es zieht Punkte ab, sobald die Information zutrifft.
„Bei Gleichstand heißt es Nein.“ Richtig ist: Die Regel lautet z ≥ θ, Gleichstand reicht für ein Ja.
„Die KI denkt wie ein Mensch.“ Richtig ist: Ein Perzeptron rechnet nur; was „klug“ aussieht, steckt in gelernten Zahlen. Es kennt Mias Gründe nicht, es findet nur Gewichte, die zu ihren Beispielen passen.

Was vereinfacht ist: Das Perzeptron rechnet hier mit Schwellenwert θ; in der Fachliteratur steht oft stattdessen ein Bias b = −θ. Der Lernschritt in Station 8 ist die Perzeptron-Lernregel mit Lernrate 1. Moderne Netze lernen mit fließenden Ausgaben und anderen Verfahren (Gradientenabstieg).

An der Tafel: Tafelmodus über den Knopf oben oder mit #tafel am Ende der Adresse, #tafel-3 startet die dritte Tafel. → und Bild↓ weiter, ← und Bild↑ zurück, Esc beendet. Station 3 und 7 sind auf je zwei Tafeln verteilt, Station 8 auf drei. Im Tafelmodus fehlt im Labor die Tabelle „Alle 8 Situationen“; sie steht in Station 4.

Praktisch: Mit „A+“ oben rechts wird die Schrift auf der Internetseite größer. Unter „Werte selbst festlegen“ in Station 6 können Sie eigene Aufgaben vorgeben. Die Seite speichert nichts, auch keine Eingaben der Lernenden.